08.11.2025 — ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы Московская область (50 регион)
08.11.2025 — ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы Московская область (50 регион)Решаем задания Муниципального этапа по Математике для 7 8 9 10 11 класса
7 класс ответы
Задание 1. Найдите четыре целых числа таких, что их сумма равна нулю, а произведение равно 2025.
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 2. В кошельке лежали 10 монет достоинством 5 и 10 рублей. Семь ребят разобрали все монеты, причём каждый взял либо одну монету, либо две. Если кто-то брал две монеты, то это были монеты разного достоинства. Известно, что у Пети в итоге оказалось меньше денег, чем у любого другого ребёнка. Какая сумма могла лежать в кошельке?
Смотреть все ответы
Задание 3. Среди 11 человек есть лжецы (они всегда лгут) и рыцари (они всегда говорят правду). Каждому из них дали несколько конфет, после чего каждый сказал: «У меня чётное число конфет». После этого некоторые люди дали часть своих конфет кому-то другому. Может ли оказаться, что теперь каждый может сказать: «У меня нечётное число конфет»?
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 4. Прямоугольник разрезан на равные квадраты. Для каждого из квадратов посчитали количество квадратов разрезания, имеющих с данным квадратом общую сторону. Все посчитанные числа сложили и получили сумму, равную 220. Найдите количество квадратов разрезания, если известно, что по крайней мере один из них не имеет общих точек с границами прямоугольника.
Задание 5. Олег утверждает, что какие бы 50 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N?
Смотреть все ответы
8 класс ответы
Задание 1. Из цифр 0, 1, 2, …, 9 составили два пятизначных числа А и В (все цифры использованы, на 0 число начинаться не может). Может ли оказаться так, что число А делится на каждую цифру числа В, кроме 0, а число В делится на каждую цифру числа А?
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 2. Среди 22 человек 11 лжецов (они всегда лгут) и 11 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 11 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 11 из них ответили «да», а 11 ответили «нет»?
Смотреть все ответы
Задание 3. На стороне 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃. Оказалось, что угол 𝐴𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐴𝐵𝐶, угол 𝐵𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐵𝐴𝐶. Найдите 𝑃𝐶, если 𝑀𝑁 = 4, где точка 𝑀 – середина стороны 𝐴𝐶, а точка 𝑁 – середина стороны 𝐵𝐶.
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 4. Олег утверждает, что какие бы 80 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N?
Задание 5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором порядке, образовывали последовательные натуральные числа 21, 22, 23, … , 30?
Смотреть все ответы
9 класс ответы
Задание 1: Среди 32 человек 16 лжецов (они всегда лгут) и 16 рыцарей (они всегда говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более 3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?». Было получено 8 ответов «0», 8 ответов «1», 8 ответов «2» и 8 ответов «3». Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 32 людям?
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 2: Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не обязательно записанных по порядку)?
Задание 3: При решении уравнения ((x^2 — ax + c)(x^2 — bx + c) = 0), где (a, b, c) – некоторые натуральные числа, причём (a > b). Катя обнаружила, что уравнение имеет четыре корня, и эти корни являются последовательными натуральными степенями тройки (например, (3^3, 3^4, 3^5, 3^6)). Найдите все простые числа, которые могут быть делителями числа (3a — 4b).
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 4: Четырехугольник (ABCD) вписан в окружность. Прямая, проходящая через точку (A), пересекает отрезки (BD) и (CD) в точках (X) и (Y) соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников (ABX) и (ACY), касаются.
Смотреть все ответы
Задание 5: Можно ли выбрать числа (a_1, a_2, …, a_{10}) так, что произведения (a_1a_2a_3a_4, a_2a_3a_4a_5, …, a_8a_9a_{10}a_1, a_9a_{10}a_1a_2, a_{10}a_1a_2a_3), записанные в некотором порядке, образованном последовательные натуральные числа (11, 12, 13, …, 20)?
10 класс ответы
Задание 1: На доску выписывают последовательность цифр 121122111222111122221… Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по 10101 включительно, считая слева?
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 2: На городских соревнованиях по велосипедному спорту была придумана следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время, начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса, измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 11 км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти скорости были постоянными.
Задание 3: При некотором значении параметра q уравнение (x[2] + 10x + q)(x[2] + 10x + q + 18) = 0 имеет четыре различных корня, и эти корни образуют арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии?
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 4: Выпуклый четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что AB = 10, BC = CD = 25 и AD = 50. Известно, что сумма углов A и D этого четырёхугольника меньше 180°. Чему может равняться эта сумма?
Задание 5: Артём задумал действительные числа a1, a2, …, a15. После чего он в некотором порядке выписал какие-то из произведений (возможно, все) a1a2a3, a2a3a4, …, a13a14a15, a14a15a1, a15a1a2. Получился ряд из нечётных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, …, 2k + 1. Какое наибольшее k могло у него получиться?
Смотреть все ответы
11 класс ответы
Задание 1: Среди 14 человек 7 лжецов (они всегда лгут) и 7 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 2: Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.
Задание 3: Петя вырезал из картона 19 треугольников, у каждого из которых одна из сторон (будем называть её основанием) равна 2, а две другие (будем называть их боковыми сторонами) – целочисленные. Затем он сложил эти треугольники так, что их вершины совпали, а основания образовали 19-звенную пространственную замкнутую ломаную. Докажите, что если у одного из треугольников есть боковая сторона длины 25, то сумма периметров всех треугольников не меньше 808.
Скачать ответы ВСОШ Математика 08.11.2025
Задание 4: На тригонометрической окружности отметили вершины правильного 28-угольника, причём одна вершина попала в точку (1; 0). Два игрока по очереди красят по одной вершине своим цветом. Дважды красить вершины нельзя. Игра заканчивается, когда покрашены все вершины. После чего первый игрок считает сумму S1 – сумму модулей синусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом первого игрока. Второй игрок считает сумму S2 – сумму модулей косинусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом второго игрока. Если S1 > S2, то выигрывает первый игрок. Иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
Задание 5: Верно ли, что у уравнения a[3] – b[3] = c[4] есть решение в натуральных числах такое, что с > 52025?
