27.11.2024 ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы Республика Башкортостан 02 / 102 регион. Задания и ответы к олимпиаде муниципального этапа ВСОШ по математике для 7, 8, 9, 10 и 11 класса, 2024 – 25 учебный год, для Республики Башкортостан (102 / 02 регион). Олимпиада проходит 27 ноября 2024 года.
27.11.2024 ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы
👉Приобрести доступ к ответам ВСОШ Муниципальный этап Математика 102 регион – 27.11.2024
В этой статье мы разберём часть заданий с решениями от прошлого года (2023). ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023-2024 УЧЕБНЫЙ ГОД РЕСПУБЛИКА БАШКОРТОСТАН 102 РЕГИОН
ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы 7 класс
Задание 1. Найдите две последние цифры числа (1! + 2! + 3!+. . . +100!)2. Здесь n! = 1∙2∙3∙…∙n, например, 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6=720.
Решение:
Так как для n>9 имеем, что n! делится на 100 (в этом легко убедиться, вычислив первые 10 таких величин), получаем, что число 1! + 2! + 3!+. . .100! имеет вид 100k+1+2+6+24+20+20+40+20+80=100(k+2)+13=100m+13.
Тогда (1! + 2! + 3!+. . .100!)2 = (100т + 13)(100т + 13) = 10000𝑚2 + 26 ∙ 100𝑚 + 169.
Ответ: 69.
Задание 2. Стороны прямоугольника равны 28 см и 30 см. Внутри него расположены 4 одинаковых
прямоугольных треугольника, образующие закрашенную фигуру. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение:
Пусть стороны закрашенного треугольника, образующие прямой угол, равны x и y, x>y. Тогда 30=2x+y, 28=2x. Откуда x=14, y=2. Искомая площадь равна 2∙14∙2=56.
Ответ: 56.
Задание 3. Пусть для натуральных чисел x и y операция x&y означает остаток от деления x на y. Например, 17&6=5, 6&17=6. Найдите все натуральные решения уравнения х&7 + 7&х = 12, удовлетворяющие неравенству 2016 < х < 2044
Решение:
Так как число x>7, то 7&x=7. Тогда x&7+7 =12, x&7=5, откуда x=7k+5. Числа такого вида в заданном промежутке: 2023, 2030, 2037. Вид числа х может не показываться алгебраической формулой, а
записываться словами «имеет остаток 5 при делении на 7»
Ответ: 2023, 2030, 2037.
Задание 5. На доске написано число 2. Петя и Ваня играют в игру. За один ход следует прибавить к числу на доске другое натуральное число, меньшее написанного, стереть старое число и написать вместо него новое. Выигрывает тот, кто первым получит число 2023. Кто победит при правильной игре, если первым ходит Петя?
Решение. Пусть после хода Пети на доске написано число N. Тогда Ваня может получить одно из чисел {N+1,…2N-1}. Тогда Петя всегда может добиться числа 2N или 2N+1 на доске. Это означает, что после первого хода Петя напишет 3, далее 7, 15, 31, 63, 126, 252, 505, 1011, 2023.
Ответ: Победит Петя.
👉Приобрести доступ к ответам ВСОШ Муниципальный этап Математика 102 регион – 27.11.2024
ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы 8 класс
Задание 1. Найдите наименьшее натуральное 𝑛 такое, что
Ответ: 4.
Задание 2. В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?
Ответ: 20.
Задание 3. Натуральное число 𝑘 ⩽ 100 таково, что 𝑘𝑘 является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать 𝑘?
Ответ: 55.
Задание 4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐵, равным 60∘ , проведены биссектрисы 𝐴𝑌 и 𝐶𝑋.
На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐶𝑌 отмечены точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐾𝑁 ∥ 𝐴𝐶. Прямая 𝐾𝑁 пересекает отрезки 𝐶𝑋 и𝐴𝑌 в точках 𝐿 и 𝑀 соответственно. Оказалось, что 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁. Известно, что 𝐾𝑁 = 9.
(а) Найдите длину отрезка 𝐶𝑁.
(б) Найдите длину отрезка 𝐴𝐶.
Ответ: (а) 6. (б) 15.
👉Приобрести доступ к ответам ВСОШ Муниципальный этап Математика 102 регион – 27.11.2024
ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы 9 класс
Задание 1. Что больше или ?
Ответ: первое число больше.
Задание 2. На доске написана дробь 437 \ 444. Каждую секунду к числителю дроби добавляют
натуральное число n, меньшее 40, а из знаменателя вычитают это же число n. Через какое наименьшее время могло оказаться так, что полученная дробь равна целому числу?
Ответ: 53
Задание 3. Известно, что квадратный трехчлен 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 имеет два положительных корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1. Сколько корней может иметь квадратный трехчлен (𝑎 + с)𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + (𝑏 + 𝑐)?
Ответ: два корня
👉Приобрести доступ к ответам ВСОШ Муниципальный этап Математика 102 регион – 27.11.2024
ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы 10 класс
Задание 1. Сколько всего шестизначных натуральных чисел, десятичная запись которых
не содержит цифры 5 и каждая последующая цифра меньше предыдущей?
Ответ: 84 числа.
Задание 2. Решите уравнение в целых числах: 19𝑎3 − 7𝑏2 = 2024.
Ответ: решений нет (пустое множество).
Задание 3. Рассматриваются все трапеции площади 1, длины диагоналей которых 𝑑1 и
𝑑2, 𝑑1 ≥ 𝑑2. Какова наименьшая возможная длина диагонали 𝑑1 у таких трапеций? (Напомним, что трапецией является выпуклый четырехугольник, две стороны которого параллельны, две другие – не параллельны).
Ответ: √2.
👉Приобрести доступ к ответам ВСОШ Муниципальный этап Математика 102 регион – 27.11.2024
ВСОШ Муниципальный этап Математика ответы 11 класс
Задание 1. У математика есть банковская карта с четырехзначным пин-кодом, состоящим из ненулевых цифр. Известно, что если пин-код карты умножить на 6 и поделить на 5, то получится число из тех же цифр, но в обратном порядке. Найдите все возможные значения такого пин-кода.
Ответ. x=4545 или 4995.
Задание 2. Приведите пример такого многочлена третьей степени с целыми
коэффициентами, для которого иррациональное число 𝑎 =√2023 − √2022 ∙ 2024 3√2023 + √2022 ∙ 2024 3является корнем.
Задание 3. Пусть квадратные трёхчлены g(x) и h(x) удовлетворяют неравенству g'(x)h'(x) ≥ |g(x)| + |h(x)| при всех действительных x. Найдите наименьшее значение функции f(x)=g(x)∙h(x) на всей числовой оси.
Решение. Пусть x1, x2 – абсциссы вершин парабол y = g(x) и y = h(x). Тогда g(x) = a(x – x1)² + b, h(x) = c(x – x2)² + d (a, c ≠ 0, 𝑏, 𝑑 – ординаты вершин парабол), и исходное неравенство переписывается в виде 4ac(x – x1)(x – x2) ≥ | a(x – x1)² + b| + |c(x – x2)² + d|. Подставляя в это неравенство x = x1,
получаем |b| + |c(x – x1)² + d| ≤ 0, откуда b = 0 и c(x1 – x2)² + d = 0. По аналогичным соображениям d = 0, поэтому из предыдущего равенства следует, что x1 = x2. Так как 4ac(x – x1)² ≥ 0 при всех x, то ac > 0. Поэтому f(x)=g(x)h(x)=ac(x-x1) 4 и наименьшее значение f(x) равно 0.
Ответ. 0.
Задание 4. В гостинице из 2023 одноместных комнат действуют правила: 1) каждый номер сдается ровно на сутки; 2) внутри каждой комнаты висит табличка с номером другой комнаты, в которую можно переехать из текущей. В понедельник в 12.00 в гостиницу заселились 2023 жителя и, соблюдая правила проживания, провели там m дней (m>1). Оказалось, что последние сутки пребывания в отеле они провели в тех же номерах, в которые заселились изначально; при этом каждый гость успел пожить в m-1 разных комнатах. За какое наименьшее количество дней это могло произойти?
Решение: Схему переселения гостей отеля удобно представить с помощью ориентированного графа с вершинами 𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅2023. Поскольку все комнаты в отеле одноместные и из каждой комнаты можно переселяться в другую строго по указанному номеру, то в каждую вершину графа входит ровно одна дуга и выходит одна дуга. Пусть m – количество суток, проведенных гостями в отеле. Согласно условию задачи каждый гость побывает ровно в 𝑚 − 1 разных комнатах, чему будет соответствовать маршрут в графе по циклу из 𝑚 − 1 вершины. Поскольку каждая вершина
графа имеет ровно один вход и один выход, получим, что граф состоит из непересекающихся циклов по 𝑚 − 1 вершине каждый. Теперь учитывая, что 2023 = 7 ∙ 172 получим, что наименьший цикл состоит из 7 вершин. Таким образом, 𝑚 = 8.
Подпишитесь на наш телеграмм канал ,что бы не упускать новости образования, важные контрольные и проверочные работы – подписаться
