Задания и ответы по олимпиаде муниципального этапа ВСОШ по Математике для 7, 8, 9, 10 и 11 класса Московская область 09.11.2024. Олимпиада проводится в школах Московской области. Решать данную олимпиаду мы будет во время её проведения. Получить задания и авторские ответы ВСОШ Муниципальный этап Математика, вы можете по ссылкам ниже.
Скачать ответы ВСОШ Муниципальный этап Математика 09.11.2024
В качестве подготовки к олимпиаде, давайте разберём задания прошлого года с ответами. ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
ВСОШ Математика задания и ответы 7 класс
Задание 1. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Марта каждый из мальчиков послал по одной открытке некоторым девочкам из кружка (хотя бы одной). Оказалось, что любые два мальчика послали разное число открыток. Какое наибольшее число мальчиков могло быть в кружке?
Решение:
Если мальчиков в кружке хотя бы 10, то найдется мальчик, который послал не меньше 10 открыток (так как любые два мальчика послали разное число открыток, и каждый – хотя бы одну). Значит, девочек на кружке не меньше 10. То есть всего в кружке не меньше 20 школьников. Получили
противоречие. Значит, мальчиков не больше 9. В кружке может быть ровно 9 мальчиков и 10 девочек. Мальчики могут послать 1,2, 3 …, 9 открыток.
Ответ: 9
Задание 2. Электронные часы показывают время от 00:00 до 23:59. Поезд отправился утром до 12:00, когда часы показывали время 𝑎𝑏: 𝑐𝑑, а прибыл тогда, когда часы показывали время 𝑐𝑑: 𝑎𝑏. Сколько времени поезд находился в пути, если известно, что он ехал больше 8, но меньше 9 часов?
Решение: Предположим, что поезд ехал 8 часов и y минут. Из условия следует, что 𝑐𝑑 > 𝑎𝑏. Значит, для того чтобы минуты 𝑐𝑑 на часах стали минутами 𝑎𝑏 должно выполняться равенство: 𝑐𝑑 + 𝑦 = 60 + 𝑎𝑏. А чтобы часы 𝑎𝑏 стали часами 𝑐𝑑 – равенство 𝑎𝑏 + 8 + 1 = 𝑐𝑑. Из этого равенства следует, что 𝑐𝑑
больше 𝑎𝑏 на 9. Значит, 𝑦 = 51.
Ответ: 8 часов 51 минуту.
Задание 3. У фокусника есть 10 цилиндров, ровно в двух из которых сидит по одному кролику. За один вопрос можно указать на 1 или 2 цилиндра, и спросить, сидит ли там хотя бы один кролик (нам ответят «да» или «нет»). Можно ли за 5 вопросов гарантированно найти цилиндр с кроликом?
Решение: Первые 3 вопроса зададим про 3 пары разных цилиндров. Если нам ответили «да» на один из вопросов, то это означает, что мы нашли два цилиндра, в которых сидит хотя бы один кролик. Задав два вопроса про каждый из этих цилиндров, мы найдем цилиндр с кроликом. Если же нам 3 раза ответили «нет», то в оставшихся 4 цилиндрах сидят 2 кролика. Нам нужно выбрать два цилиндра (из этих 4) и задать 2 вопроса про каждый из выбранных цилиндров. Если нам хотя бы раз ответят «да», то кролик в указанном цилиндре, если два раза ответят «нет», то в оставшихся 2 цилиндрах сидят 2 кролика.
Ответ: Можно
Задание 4. Клетчатый квадрат 31 см 31 см (длина стороны клетки 0,5 см), разрезали на 6 клетчатых прямоугольников одинакового периметра. Могло ли оказаться, что суммарная длина разрезов внутри квадрата равна 80,5 см?
Решение: Пусть P – периметр одного из этих прямоугольников. Так как длина стороны клетки 0,5 см, то периметр P будет целым числом. Суммарный периметр прямоугольников разрезания равен 6P – четному числу. В эту сумму входит периметр квадрата, а также удвоенная сумма длин разрезов. Однако число 124 + 161 = 285 нечетно
Ответ: Не могло
Задание 5. В каждой клетке таблицы 3 3 стоит по одному натуральному числу, причём все девять чисел различны. Известно, что можно вычеркнуть по одному такому числу в каждой строчке так, что в каждой строчке суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу x. Также можно вычеркнуть по одному такому числу в каждом столбце так, что в каждом столбце суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу y. Может ли оказаться, что x = y?
Решение: Предположим, что 𝑥 = 𝑦. Так как строк и столбцов в таблице 6, а в каждой строке и столбце мы выбирали по одному числу, то «выбранных» чисел не больше 6 (из 9, стоящих в таблице). Поэтому найдётся число 𝑎, которое не было выбрано. Тогда в строке с числом 𝑎 будет стоять число 𝑥 − 𝑎, а в столбце с числом 𝑎 будет стоять число 𝑦 − 𝑎. Но мы предположили, что
𝑥 = 𝑦. Значит, 𝑥 − 𝑎 = 𝑦 − 𝑎. В таблице нашлись одинаковые числа, но все числа по условию в таблице различны. Получили противоречие.
Ответ: Не может.
ВСОШ Математика задания и ответы 8 класс
Задание 1. Найдите наименьшее натуральное 𝑛 такое, что
Ответ: 4.
Задание 2. В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?
Ответ: 20
Задание 3. Натуральное число 𝑘 ⩽ 100 таково, что 𝑘𝑘 является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать 𝑘?
Ответ: 55
Задание 4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐵, равным 60∘, проведены биссектрисы 𝐴𝑌 и 𝐶𝑋. На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐶𝑌 отмечены точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐾𝑁 ∥ 𝐴𝐶. Прямая 𝐾𝑁 пересекает отрезки 𝐶𝑋 и𝐴𝑌 в точках 𝐿 и 𝑀 соответственно. Оказалось, что 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁. Известно, что 𝐾𝑁 = 9.
(а)Найдите длину отрезка 𝐶𝑁.
(б)Найдите длину отрезка 𝐴𝐶.
Ответ: (а) 6. (б) 15.
Задание 5. По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные — соврали.
(а) Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
(б) Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
Ответ: (а) 60. (б) 51.
Задание 6. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на
него.
(а) Найдите наибольшее особенное число.
(б) Сколько всего особенных чисел на доске?
Ответ: (а) 30. (б) 8.
Задание 7. У Егора есть доска 5 × 5, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась фишка, на 1.
После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
Ответ: 5.
Задание 8. На диагонали 𝐴𝐶 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑇 так, что 𝐴𝐷 = 𝐵𝑇. Оказалось, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑇, ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶 = 132∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐶𝐷?
Ответ: 36.
ВСОШ Математика задания и ответы 9 класс
Задание 1. У Пети дома есть много ручек: синих и красных. Собираясь в школу, он положил в пенал 20% имеющихся ручек. Среди положенных ручек ровно 25% оказались красными. Подумав, Петя решил положить в пенал ещё 4 синих ручки. После этого доля красных ручек в пенале составила 20%. Сколько всего ручек дома у Пети? (Ручки в пенале тоже учитываются.)
Ответ: 80.
Задание 2. Через вершину 𝐷 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена прямая ℓ, и на неё опущены высоты 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 169, а длина отрезка 𝐴𝑋 равна 5.
(а) Найдите длину отрезка 𝐶𝑍.
(б) Найдите длину отрезка 𝐵𝑌.
Ответ: (а) 12. (б) 17.
Задание 3. По кругу лежали 𝑛 шариков, где 6 ⩽ 𝑛 ⩽ 100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать 𝑛?
Ответ: 63.
Задание 4. В выражении (𝑎 + 2𝑏)(𝑏 + 2𝑐)(𝑐 + 2𝑑)(𝑑 + 2𝑒)(𝑒 + 2𝑓)(𝑓 + 2𝑎) раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
(а) Найдите коэффициент при 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓.
(б) Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
Ответ: (а) 65. (б) 729
Задание 5. Дан выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷. На отрезке 𝐵𝐷 выбрали точку 𝐾 так, что 𝐴𝐷 ∥ 𝐾𝐶. Описанная окружность треугольника 𝐾𝐷𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. Известно, что ∠𝐴𝐵𝐷 = 48∘ и ∠𝐶𝐵𝐷 = 13∘. Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐴𝐿?
Ответ: 53.
Задание 6. В очереди в буфет стоят 30 человек, у каждого из них есть целое неотрицательное число рублей — суммарно у всех ровно 𝑁 рублей. Все они по порядку пронумерованы числами от 1 до 30 (т. е. человек №1 находится в начале очереди, а человек №30 —в конце).
Каждый человек в очереди знает, сколько денег у каждого из остальных. Человек №1 сказал: «У меня есть 10 рублей», а все остальные сказали: «У меня на 10 рублей больше, чем у человека передо мной». Оказалось, что ровно один из стоящих в очереди соврал.
(а) Какое наименьшее значение может принимать 𝑁?
(б) В случае наименьшего возможного значения 𝑁 какой номер мог иметь совравший человек? Укажите все возможные варианты.
Ответ: (а) 2250. (б) 15, 16.
Задание 7. В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400. Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Ответ: 172
Задание 8. Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат 1 × 1 тоже является полоской). Назовём натуральное число 𝑘 хорошим, если клетчатый прямоугольник 43 × 𝑘 можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
Ответ: 38.
ВСОШ Математика задания и ответы 10 класс
Задание 1. Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски 8×8. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых
клеток?
Ответ: 46.
Задание 2. Действительные ненулевые числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что квадратный трёхчлен 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 20𝑎𝑥 + 𝑏 имеет два действительных корня, отличающихся на 2.
(а) Найдите меньший из этих корней.
(б) Найдите 𝑏\𝑎.
Ответ: а) 9. б) 99.
Задание 3. Вписанный четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 таков, что ∠𝐴𝐷𝐵 = 40∘ и ∠𝐶𝐷𝐵 = 52∘.
Точка 𝑀 внутри четырёхугольника такова, что ∠𝐵𝐴𝑀 = 26∘ и ∠𝐵𝐶𝑀 = 20∘. Сколько градусов составляет угол 𝐶𝐵𝑀?
Ответ: 44.
Задание 4. Натуральное число назовёмсчастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы 𝑛 слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение 𝑛.
Ответ: 9
Задание 5. Различные натуральные числа 𝑛 и 𝑘 таковы, что
𝑘 < 𝑛 < 2𝑘 < 3𝑛 < 4𝑘 < 5𝑛 < … < 48𝑘 < 49𝑛 < 50𝑘.
Какое наименьшее значение может принимать 𝑛?
Ответ: 51.
Задание 6. (а) Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение никаких двух различных выбранных чисел не делилось на 12?
(б) Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение любых двух различных выбранных чисел делилось на 12?
Ответ: а) 67. б) 17
Задание 7. Девять посёлков соединены восемью дорогами 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, как показано на рисунке. Длины дорог равны 1, 2, 3, …, 8 км в некотором порядке. Для каждого посёлка нашли длину кратчайшего пути до каждого другого по дорогам, и все такие длины сложили.
(а) Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты.
(б) Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?
Ответ: а) 𝐷, 𝐸. б) 240.
Задание 8. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴 проведена высота 𝐴𝐻. На продолжении отрезка 𝐻𝐴 за точку 𝐴 нашлась точка 𝐷 такая, что ∠𝐷𝐵𝐴 = ∠𝐶𝐵𝐴. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷, если известно, что 𝐵𝐶 = 7 и 𝐴𝐷 = 12.
Ответ: 16.
ВСОШ Математика задания и ответы 11 класс
Задание 1. В правильном 30-угольнике одну вершину покрасили в красный цвет, а остальные – в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?
Ответ. 42.
Решение: Опишем вокруг многоугольника окружность. Угол является
прямым, если он опирается на диаметр. Возможны два случая. Угол при красной вершине – не прямой. Значит, диаметр с концами в красной и синей вершинах является гипотенузой. Оставшуюся вершину прямого угла можно выбрать 30–2=28 способами. Всего получаем 28+14=42 способа
Угол при красной вершине – прямой. Тогда гипотенузу (диаметр) можно
выбрать (30–2):2=14 способами.
Задание 2. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, …, 99, 100 и 102. За одну операцию можно выбрать несколько чисел, среднее арифметическое которых – целое число, стереть эти числа и вместо них записать на доску их среднее арифметическое. За какое наименьшее число операций можно оставить на доске только одно число?
Ответ. 2.
Задание 3. Дан непрямоугольный параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, точки𝑂,𝑂1, 𝑂2,𝑂3,𝑂4 – соответственно центры граней 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, 𝐴𝐴1𝐵1𝐵, 𝐵𝐵1𝐶1𝐶, 𝐶𝐶1𝐷1𝐷, 𝐷𝐷1𝐴1𝐴. Известно, что углы 𝑂1𝑂𝑂3 и 𝑂2𝑂𝑂4 – прямые. Докажите, что четырёхугольник 𝑂1𝑂2𝑂3𝑂4 – прямоугольник.
Решение: Пусть 𝐾, 𝐿, 𝑀 – соответственно середины рёбер 𝐴𝐴1, 𝐴1𝐷1, 𝐷1𝐷 параллелепипеда. Из параллельности отрезков 𝑂1𝑂 и 𝐾𝐿, а также 𝑂𝑂3 и 𝐿𝑀 и условия задачи следует перпендикулярность средних линий 𝐾𝐿 и 𝐿𝑀 соответственно треугольников 𝐴𝐴1𝐷1 и 𝐴1𝐷1𝐷, то есть перпендикулярность диагоналей 𝐴𝐷1 и 𝐴1𝐷 параллелограмма 𝐷𝐷1𝐴1𝐴 Значит, этот параллелограмм – ромб, и 𝐴1𝐷1 = 𝐴𝐴1. Аналогично доказывается равенство рёбер 𝐴1𝐵1 и 𝐴𝐴1.
Итак, все рёбра параллелепипеда – равны. Тогда в ромбе 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 перпендикулярны. Но стороны четырёхугольника 𝑂1𝑂2𝑂3𝑂4 параллельны этим диагоналям (например, 𝑂1𝑂2 – средняя линия треугольника 𝐴𝐵1𝐶). Значит, четырёхугольник 𝑂1𝑂2𝑂3𝑂4 – прямоугольник.
Задание 4. Какие значения может принимать сумма cos 2𝑥 + cos 2𝑦 + cos 2𝑧, если известно, что выполняются равенства cos 2𝑥 = tg 𝑦 + 1, cos 2𝑦 = tg 𝑧 + 1, cos 2𝑧 = tg 𝑥 + 1?
Ответ. 0 или 3
Задание 5. На столе лежат 170 карточек с числами от 1 до 170. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10 или на число, делящееся на 11. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при
правильной игре?
Ответ. Второй.
