Сириус Математика 7-11 класс ответы и задания 4 группа школьный этап 16.10.2025 Ответы, решения на все задания для 7, 8, 9, 10 и 11 класса олимпиада по Математике школьный этап 2025 официальной всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для 4 группы регионов Сириус дата проведения 16 октября онлайн на сайте.
Сириус Математика 7-11 класс ответы и задания 4 группа школьный этап 16.10.2025
Работа подойдет для регионов группы №4: Алтайский край — 22 регион, Амурская область — 28 регион, Еврейская автономная область — 79 регион, Забайкальский край — 75 регион, Иркутская область — 38 регион, Камчатский край — 41 регион, Кемеровская область — Кузбасс — 42 регион, Красноярский край — 24, 84 регион, Магаданская область — 49 регион, Новосибирская область — 54 регион, Приморский край — 25 регион, Республика Алтай — 04 регион, Республика Бурятия — 03 регион, Республика Саха (Якутия) — 14 регион, Республика Тыва — 17 регион, Республика Хакасия — 19 регион, Сахалинская область — 65 регион, Томская область — 70 регион, Хабаровский край — 27 регион, Чукотский автономный округ — 87 регион
Авторские ответы на олимпиаду Сириус Математика школьный этап 7-11 класс (4 группа) вы можете приобрести на нашем сайте — приобрести
7 класс ответы
Задание 1. За победу в командных соревнованиях Ане, Боре, Варе, Глебу и Диме вручили мяч и кубок. Аня получила мяч от Глеба, а кубок передала Боре. Дима передал кубок Ане, а мяч получил от Бори. Варя получила мяч от Димы, а кубок от Глеба. Боря получил мяч от Ани, а кубок передал Глебу. Больше никто никому ничего не передавал.
У кого кубок был изначально? У кого мяч был изначально? У кого кубок оказался в конце? У кого мяч оказался в конце?
У Ани
У Бори
У Вари
У Глеба
У Димы
Ответ: Кубок изначально: У Даши Мяч изначально: У Гены Кубок в конце: У Бори Мяч в конце: У Ани
1.2. За победу в командных соревнованиях Косте, Лене, Маше, Насте и Олегу вручили мяч и кубок. Костя получил кубок от Лены, и передал ей мяч. Олег получил мяч от Лены, а кубок передал Насте. Маша получила мяч от Олега, а кубок передала Лене. Настя передала мяч Косте, а кубок — Маше. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально? У кого мяч был изначально? У кого кубок оказался в конце? У кого мяч оказался в конце?
Ответ: Кубок изначально: У Олега Мяч изначально: У Насти Кубок в конце: У Маши Мяч в конце: У Кости
1.3. За победу в командных соревнованиях Кате, Лене, Мише, Никите и Оле вручили мяч и кубок. Катя получила кубок от Лены, а мяч передала Никите. Оля получила кубок от Никиты, а мяч передала Кате. Лена получила кубок от Оли, а мяч отдала Мише. Никита отдал мяч Лене, а кубок получил от Миши. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально? У кого мяч был изначально? У кого кубок оказался в конце? У кого мяч оказался в конце?
Ответ: 1.миша 2.оля 3.катя 4.миша
1.4. За победу в командных соревнованиях Ане, Боре, Варе, Глебу и Диме вручили мяч и кубок. Аня получила мяч от Глеба, а кубок передала Боре. Дима передал кубок Ане, а мяч получил от Бори. Варя получила мяч от Димы, а кубок — от Глеба. Боря получил мяч от Ани, а кубок передал Глебу. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально? У кого мяч был изначально? У кого кубок оказался в конце? У кого мяч оказался в конце?
Ответ: Изначально кубок — У Димы Изначально мяч — У Глеба В конце кубок — У Вари В конце мяч — У Вари
Задание 2. В классе 70 % девочек и 30 % мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40 % девочек и 20 % мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 36
2.2. В классе 40 % девочек и 60 % мальчиков. Известно, что среди учеников класса 30 % девочек и 60 % мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 34
2.3. В классе 30 % девочек и 70 % мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40 % девочек и 30 % мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 48
Задание 3. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких‑либо двух или трёх фигур.
Ответ: 4, 8, 10, 12, 13, 15
3.2. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты.
Ответ: 5, 7, 9, 11, 13, 14
Задание 4. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 829] ?
Ответ: 4
4.2. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 772]?
Ответ: 6
4.3. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [600; 947]?
Ответ: 0
4.4. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 643]?
Ответ: 5
Задание 5. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в четыре раза больше расстояния от черешни до яблони. В какой‑то момент на вишню села ворона, а на черешню воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 60 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
5.2. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в пять раз больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 20 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы полетели одновременно навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
5.3. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в шесть раз больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 50 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
5.4. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в три раза больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 80 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
Задание 6. Какое наибольшее количество прямоугольников 1×2 ли 2×1 можно выпилить из фигуры, изображённой на рисунке?
Задание 7. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 30 фигурок медведей, 25 матрёшек и 20 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх самовар и медведь, ровно в четырёх медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
7.2. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 30 фигурок медведей, 25 матрёшек и 15 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7.3. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 30 фигурок медведей, 25 матрёшек и 15 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
7.4. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 35 фигурок медведей, 30 матрёшек и 20 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 8. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо ∨ ∨ в ребусе К ∨ У ∨ С ∨ О ∨ К так, чтобы он имел решение?
Смотреть полные ответы
8.2. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе C V И V P V И V Y V C так, чтобы он имел решение?
8.3. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе К V У V С V О V К так, чтобы он имел решение?
Смотреть полные ответы
8.4. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе C V И V P V И V Y V C так, чтобы он имел решение?
8 класс ответы
Задание 1. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5×4(уголок это прямоугольник 5×4, из которого удалили прямоугольник 4×3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 1302
1.2. На клетчатом поле построили змейку из 99 уголков 5 × 3 (уголок — это прямоугольник 5 × 3, из которого удалили прямоугольник 4 × 2) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 2576
1.3. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5 × 4 (уголок — это прямоугольник 5 × 4, из которого удалили прямоугольник 4 × 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 3002
1.4. На клетчатом поле построили змейку из 40 уголков 6 × 4 (уголок — это прямоугольник 6 × 4, из которого удалили прямоугольник 5 × 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 1362
Задание 2. Натуральное число a a разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное c2 и остаток r2. Разделив c2 на r2 , получили c3=2 и r3=3 При каком наименьшем a a такое возможно?
Ответ: 239
2.2. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 4 и r₃ = 2.
Ответ: 299
2.3. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 2 и r₃ = 4. При каком наименьшем a такое возможно?
Ответ: 629
2.4. Натуральное число a разделили на натуральное число b и получили частное c₁ и остаток r₁. Затем c₁ разделили на r₁ и получили частное c₂ и остаток r₂. Разделив c₂ на r₂, получили c₃ = 2 и r₃ = 3. При каком наименьшем a такое возможно?
Ответ: 359
Задание 3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180 и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.2. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы шесть рыцарей», или «Передо мной хотя бы восемь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 9
3.3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.4. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы семь рыцарей», или «Передо мной хотя бы пять лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 2
Задание 4. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число? Наибольшее: Число Наименьшее:
Ответ: 69 и 2
4.2. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 60 и 2
4.3. Четырнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 800. Последнее, наибольшее, четырнадцатое, равно 70. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 51 и 2
4.4. Шестнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1350. Последнее, наибольшее, шестнадцатое, равно 100. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 40 и 21
Задание 5. В последовательности a1=9, a2=2, a3=13, … каждый член определяется двумя предыдущими:
an+1=an+1an−1.Найдите a60.
Смотреть полные ответы
5.2. В последовательности a₁ = 8, a₂ = 9, a₃ = 5/4, … каждый член определяется двумя предыдущими:
aₙ₊₁ = (aₙ + 1) / aₙ₋₁. Найдите a₂₀₀.
Смотреть полные ответы
5.3. В последовательности a₁ = 7, a₂ = 4, a₃ = 5/7, … каждый член определяется двумя предыдущими:
aₙ₊₁ = (aₙ + 1) / aₙ₋₁ Найдите a₁₀₀.
Смотреть полные ответы
5.4. В последовательности a₁ = 8, a₂ = 9, a₃ = 5/4, … каждый член определяется двумя предыдущими:
aₙ₊₁ = (aₙ + 1) / aₙ₋₁. Найдите a₂₀₀.
Смотреть полные ответы
Задание 6. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
Смотреть полные ответы
6.2. В одной школе в математический кружок ходят 12 восьмиклассников и 22 девятиклассника, в другой — 14 восьмиклассников и 20 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
Смотреть полные ответы
6.3. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 12 девятиклассников, в другой — 24 восьмиклассника и 20 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.4. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой — 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
Смотреть полные ответы
Задание 7. В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC. На стороне BC выбрали точку D, а на стороне AB точку E, так что BD=AE, а DE=BE. Найдите величину угла CEA, если ∠ABC=26∘. Ответ выразите в градусах.
7.2. В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC. На стороне BC выбрали точку D, а на стороне AB — точку E, так что BD = AE, а DE = BE. Найдите величину угла CEA, если ∠ABC = 34°. Ответ выразите в градусах.
Смотреть полные ответы
7.3. В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC. На стороне BC выбрали точку D, а на стороне AB — точку E, так что BD = AE, а DE = BE. Найдите величину угла CEA, если ∠ABC = 32°. Ответ выразите в градусах.
Задание 8. Попарно различные натуральные числа a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4 таковы, что четыре прямые y=a1x+b1, y=a2x+b2, y=a3x+b3, y=a4x+b4 пересекаются в одной точке. Числа c1, c2, c3, c4 это числа b1, b2 , b3 , b4 , записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые y=a1x+c1, y=a2x+c2, y=a3x+c3, y=a4x+c4 тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.
Смотреть полные ответы
8.2. Попарно различные натуральные числа a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆ таковы, что шесть прямых y = a₁x + b₁, y = a₂x + b₂, y = a₃x + b₃, y = a₄x + b₄, y = a₅x + b₅, y = a₆x + b₆ пересекаются в одной точке. Числа c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆ — это числа b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆ записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые y = a₁x + c₁, y = a₂x + c₂, y = a₃x + c₃, y = a₄x + c₄, y = a₅x + c₅, y = a₆x + c₆ тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + a₄b₄ + a₅b₅ + a₆b₆.
8.3. Попарно различные натуральные числа a₁, a₂, a₃, a₄, b₁, b₂, b₃, b₄ таковы, что четыре прямые y = a₁x + b₁, y = a₂x + b₂, y = a₃x + b₃, y = a₄x + b₄ пересекаются в одной точке. Числа c₁, c₂, c₃, c₄ — это числа b₁, b₂, b₃, b₄, записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые y = a₁x + c₁, y = a₂x + c₂, y = a₃x + c₃, y = a₄x + c₄ тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + a₄b₄.
Смотреть полные ответы
8.4. Попарно различные натуральные числа a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ таковы, что три прямые y = a₁x + b₁, y = a₂x + b₂, y = a₃x + b₃ пересекаются в одной точке. Числа c₁, c₂, c₃ — это числа b₁, b₂, b₃, записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые y = a₁x + c₁, y = a₂x + c₂, y = a₃x + c₃ тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
9 класс ответы
Задание 1. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 5×5?
Смотреть полные ответы
1.2. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 6×6?
1.4. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 4×4?
Смотреть полные ответы
Задание 2. Сумма двух чисел равна √69, а разность √37. Чему равно их произведение?
Смотреть полные ответы
2.2 Сумма двух чисел равна √65, а разность √29. Чему равно их произведение?
2.3. Сумма двух чисел равна √75, а разность — √31. Чему равно их произведение?
2.4. Сумма двух чисел равна √77, а разность — √53. Чему равно их произведение?
Задание 3. В остроугольном треугольнике ABC проведена медиана BM, которая делит биссектрису CL в отношении 4:3. Найдите отношение площадей треугольников ABC и ALM.
Смотреть полные ответы
3.2. В остроугольном треугольнике ABC проведена медиана AD, которая делит высоту BH в отношении 5:3. Найдите отношение площадей треугольников ABC и CDH.
3.3. В остроугольном треугольнике ABC проведена медиана AD, которая делит биссектрису BE в отношении 6:5. Найдите отношение площадей треугольников ABC и CDE.
3.4. В остроугольном треугольнике ABC проведена медиана CN, которая делит высоту AH в отношении 7:5. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BNH.
Задание 4. Функция f удовлетворяет условию f(xy)=f(x)+f(y) для всех натуральных чисел x,y . Известно, что f(10)=14 и f(25)=20 . Найдите f(1). Число или дробь Найдите f(2). Число или дробь Найдите f(500).
Смотреть полные ответы
4.2. Функция f удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, y. Известно, что f(10) = 14 и f(40) = 20. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(500).
4.3. Функция f удовлетворяет условию f(x + y) = f(x)f(y) для всех неотрицательных чисел x, y. Известно, что f(20) = 25. Найдите f(0). Найдите f(10). Найдите f(50).
4.4. Функция f удовлетворяет условию f(xy)=f(x)+f(y) для всех натуральных чисел x,y . Известно, что f(10)=14 и f(25)=26 . Найдите f(1). Число или дробь Найдите f(2). Число или дробь Найдите f(400).
4.5. Функция f удовлетворяет условию f(x + y) = f(x)f(y) для всех неотрицательных чисел x, y. Известно, что f(25) = 32. Найдите f(0). Найдите f(5). Найдите f(60).
Задание 5. Параболу, являющуюся графиком функции y = 2x², отразили относительно прямой, описанной уравнением y = x + 3. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay² + by + c.
Смотреть полные ответы
5.2. График функции y = 5x² отразили относительно прямой, описанной уравнением y = 1 — x. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay² + by + c.
5.3. Параболу, являющуюся графиком функции y = 4x², отразили относительно прямой, описанной уравнением y = x + 1. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay² + by + c.
5.4. График функции y = 3x² отразили относительно прямой, описанной уравнением y = 2 — x. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay² + by + c.
Задание 6. Андрей выкладывает картонные квадраты 3 × 3 вдоль диагонали квадрата 4 × 4 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 44/3.
Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 314/21? Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы √224?
Смотреть полные ответы
6.3. Егор выкладывает картонные квадраты 3 × 3 вдоль диагонали квадрата 4 × 4 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 44/3.
Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 254/17? Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы √223?
6.4. Саша выкладывает картонные квадраты 2 × 2 вдоль диагонали квадрата 3 × 3 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 23/3.
Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 335/42? Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы √63?
Смотреть полные ответы
6.5. Демьян выкладывает картонные квадраты 2×2 вдоль диагонали квадрата 3×3 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 23/3 .
Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 255/32? Число Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы 62√?
Задание 7. У Васи есть 35 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 × 7. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
Смотреть полные ответы
7.2. У Васи есть 30 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 × 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
7.3. У Васи есть 20 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4 × 5. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
7.4. У Васи есть 30 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 × 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
7.5. У Васи есть 24 картонных квадрата 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4 × 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
Смотреть полные ответы
Задание 8. У натуральных чисел m, n наибольший общий делитель — НОД(m, n) — равен 11. Найдите все возможные значения НОД(m² — 2mn + n², m² + 9mn + n²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
8.2. У натуральных чисел m, n наибольший общий делитель — НОД(m, n) — равен 11. Найдите все возможные значения НОД(m² — 2mn + n², m² + 9mn + n²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8.3. У натуральных чисел a, b наибольший общий делитель — НОД(a, b) — равен 7. Найдите все возможные значения НОД(a² — 2ab + b², a² + 5ab + b²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8.4. У натуральных чисел a, b наибольший общий делитель — НОД(a, b) — равен 3. Найдите все возможные значения НОД(a² + ab + b², a² + 4ab + b²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8.5. У натуральных чисел p, q наибольший общий делитель — НОД(p, q) — равен 5. Найдите все возможные значения НОД(p² + 2pq + q², p² + 7pq + q²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
10 класс ответы
Задание 1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
1.2. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
1.3. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
1.4. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
Задание 2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
2.2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
2.3. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
2.4. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
Смотреть полные ответы
3.2. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
3.3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 36°, ∠CDA = 54°. Ответ выразите в градусах.
3.4. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 31°, ∠CDA = 59°. Ответ выразите в градусах.
Задание 4. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 2, a₂ = 12/13, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₅₀₀ в виде несократимой дроби.
Смотреть полные ответы
4.2. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 1, a₂ = 3/7, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₂₀₀ в виде несократимой дроби.
4.3. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 2, a₂ = 10/11, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₄₀₀ в виде несократимой дроби.
4.4. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 1, a₂ = 4/9, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₃₀₀ в виде несократимой дроби.
Задание 5. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите c. Найдите f(3) + f(-3).
Смотреть полные ответы
5.2. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найдите c. Найдите f(2) + f(-2).
5.3. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 12, 10 и 20. Найдите c. Найдите f(4) + f(-4).
5.4. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15. Найдите c. Найдите f(1) + f(-1).
Задание 6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 400000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
Смотреть полные ответы
6.2. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 500000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.3. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 700000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.4. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
Задание 7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным?
Смотреть полные ответы
7.2. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
7.3. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
7.4. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
Смотреть полные ответы
Задание 8. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 3 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
Смотреть полные ответы
8.2. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 7 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
8.3. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 5 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
Смотреть полные ответы
8.4. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 9 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
11 класс ответы
Задание 1. Вика пошла в гости к своей подруге Ане. Вика помнит, что Аня живёт в 143-й квартире, причём в седьмом или восьмом подъезде. Ещё известно, что дом Ани пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Аня? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на втором этаже пятого подъезда.
Смотреть полные ответы
1.2. Артём пошёл в гости к своему другу Яну. Артём помнит, что Ян живёт в 79-й квартире, причём в пятом или шестом подъезде. Ещё известно, что дом Яна пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Ян? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на первом этаже четвёртого подъезда.
1.3. Вова пошёл в гости к своему другу Саше. Вова помнит, что Саша живёт в 58-й квартире, причём в четвёртом или пятом подъезде. Ещё известно, что дом друга пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на третьем этаже третьего подъезда.
1.4 Витя пошёл в гости к своему другу Феде. Витя помнит, что Федя живёт в 111-й квартире, причём в шестом или седьмом подъезде. Ещё известно, что дом Феди пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Федя?
Смотреть полные ответы
Задание 2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Смотреть полные ответы
2.2. Саша и Костя купили себе по 34 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
2.3. Саша и Костя купили себе по 23 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Смотреть полные ответы
2.4. Саша и Костя купили себе по 21 паре носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Задание 3. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₁₀ = 55,
aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃.Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
Смотреть полные ответы
3.2. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₉ = 25, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
3.3. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₇ = 31, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
3.4. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₈ = 29, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
Задание 4. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
4.2 Дан ряд чисел 1, 2, …, 2067. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 21? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4.3. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2074. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 24? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4.4. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2025. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 18? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
Задание 5. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 18, tg ∠ACB = 40/9.
5.2 В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 40, tg ∠ACB = 21/20.
Смотреть полные ответы
5.3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 16, tg ∠ACB = 15/8.
5.4. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 14, tg ∠ACB = 24/7.
Задание 6. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy + 7 = 8x + 2y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
6.2. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy + 5 = 2x + 6y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
6.3. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy = 2x + 6y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Смотреть полные ответы
6.4. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy = 4x + 2y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 7. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 16, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
Смотреть полные ответы
7.2. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 12, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 45°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
7.3. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 22, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 45°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
Смотреть полные ответы
7.4. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 10, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
Задание 8. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
Смотреть полные ответы
8.2. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам НЕ может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
8.3. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
Смотреть полные ответы
8.4. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
Ответы на ВсОШ бесплатно, мы публикуем в нашем телеграм канале — https://t.me/sirius_otveti_olimpiada
