Задание 1. На какое из чисел: 31, 47, 61, 79 делится число равное сумме 13^13 + 13^14 + 13^15?
Выберите один вариант ответа
61
31
47
79
Ответ: 61
Задание 2. На чемпионате по поеданию пельменей участникам предлагалось съесть за одинаковое время как можно больше пельменей. Каждому участнику выдали по тарелке с Х пельменями. Петя съел 1/2 всех пельменей, затем съел 1/5 оставшихся пельменей, а затем еще 42 пельменя. Вася съел 2/3 всех пельменей, затем съел 3/5 оставшихся пельменей, а затем еще 6 пельменей. Оказалось, что Петя и Вася съели поровну пельменей. Найдите Х.
Ответ: 135
Задание 3. Имеются чашечные часы и гири с массами 1, 3, 5, …., 69, 71, 1369, х граммов. Найдите наименьшее значение Х, при котором можно распределить гири по чашам весов так, чтобы весы оказались в равновесии.
Ответ: 1
Задание 4. Все натуральные числа от 1 до 1800 покрашены в два цвета – красный и синий, по следующему правилу: если сумма двух различных чисел a и b являются простым числом, то a и b покрашены в разные цвета. Известно, что число 1 – красное. Найдите количество синих чисел.
Ответ: 900
Задание 5. У Серёжи есть бесконечно много белых и черных шашек и доска размером 63 х 63. Он желает выставить на доску m белых и m черных шашек так, чтобы ни в каком столбце не встречались разноцветные шашки. Найдите наибольшее возможное значение m.
Задание 6. Дан приведенный кубический многочлен P(x). Известно, что
P(2)+P(5)=P(3)+P(4).
Найдите удвоенную сумму всех корней P(x).
Ответ: 21
Задание 7. В треугольнике ABC отмечена середина M стороны AC. Точки N,K на стороне AB таковы, что AK=KN=NB. Точки P, Q, К на стороне BC таковы, что BP=PQ=QR=RC. Известно, что площадь треугольника MNR равна 18. Найдите площадь треугольника MKP.
Ответ: 11, 41
Задание 8. На графике параболы y=30×2 + 10x-7 отметили точки M N K с абсциссами 11, 13, 17. Через середины сторон треугольника MNK провели параболу y=ax2+bx+c. Чему равно a?
Ответ: -60
Задание 9. Пусть О-точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке X. Прямая XO пересекает описанную окружность ABCDв точках P и Q. Известно, что XP=76, XQ=228. Найдите XO.
Ответ: 132
Задание 10. В колонию, состоящую из двухсот бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем каждый из вирусов и каждая из оставшихся бактерий снова делится пополам и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или, если она в конце концов погибнет, то через какое время это произойдёт?
– колония будет жить бесконечно долго
– колония будет жить 200 минут – верный ответ
– колония будет жить 150 минут
– колония будет жить 250 минут
